Soal dan Penyelesaian Variabel Acak dan Distribusi Peluang

Tugas A

1. Latihan Variabel Acak. 2 bola diambil berturut-turut tanpa dikembalikan dari kotak yg berisi 4 bola merah (M) dan 3 bola biru (B). Buatlah semua kemungkinan nilai variabel random Y yang menggambarkan jumlah bola merah yang terambil.

Ruang sample	Y
MM	2
MB	1
BM	1
BB	0

jawaban :

Y = 0, 1, 1, 2.

2. Diketahui ruang sampel dari sebuah percobaan

Percobaan	1	2	3	Jumlah Mata Uang
1	A	A	A	3
2	A	A	G	2
3	A	G	G	1
4	G	G	G	0
5	G	A	A	2
6	G	G	A	1
7	G	A	G	1
8	A	G	A	2

Tentukan distribusi probabilitas diskrit nya!

S = {AAA, AAG, AGG, GGG, GAA, GGA, GAG, AGA}

misal x adalah variabel jumlah angka, maka nilai x yang mungkin { 3, 2, 1, 0, 2, 1, 1, 2}

x = 3 → {AAA} → P(X=3) = 1/8

x = 2 → {GAA,AGA,AAG} → P(X=2) = 3/8

x = 1 → {GGA,GAG,AGG} → P(X=1) = 3/8

x = 0 → {GGG}→ P(X=0) = ⅛

3. Diketahui ruang sampel dari sebuah percobaan

Percobaan	1	2	3	Jumlah Mata Uang
1	A	A	A	3
2	A	A	G	2
3	A	G	G	1
4	G	G	G	0
5	G	A	A	2
6	G	G	A	1
7	G	A	G	1
8	A	G	A	2

Tentukan distribusi probabilitas diskrit kumulatifnya!

F(0) = f(0) = 1/8,  0 ≤ x < 1

F(1) = f(0)+f(1) = 3/8 + ⅛ = 1/2, 1 ≤ x < 2

F(2) = f(0)+f(1)+f(2) = ⅛ + ⅜  + ⅜ = ⅞ , 2 ≤ x < 3

F(3) = f(0)+f(1)+f(2)+f(3) = ⅛ + ⅜ + ⅜ + ⅛ = 1, x ≤ 3

Tugas B

1. Pada pelemparan dua dadu. Tentukan harapan matematis munculnya jumlah muka dua dadu, jika X menyatakan jumlah muka dua dadu!

Tabel jumlah mata dadu dari pelemparan dua dadu adalah sebagai berikut :

Mata dadu 1 & 2	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

Tabel probabilitas apabila X adalah peluang munculnya jumlah dua mata dadu,

X = x	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
f(X = x)	1/36	2/36	3/36	4/36	5/36	6/36	5/36	4/36	3/36	2/36	1/36

Maka harapannya adalah sebagai berikut : 

E(X) = (2) P(x=2) + (3) P(x=3) + (4) P(x=4) +.....+ (12) P(x=12)

           = (2) * (1/36) + (3) * (2/36) + (4) * (3/36) + (5) * (4/36) + (6) * (5/36) + (7) * (6/36) 

 + (8) * (5/36) + (9) * (4/36) + (10) * (3/36) + (11) * (2/36) + (12) *(1/36)

          = 256/36

           = 7

2. Jika seseorang membeli sebuah lotere, maka ia dapat memenangkan hadiah pertama sebesar Rp. 50.000.000,- atau hadiah kedua Rp. 20.000.000,- masing-masing dengan probabilitas 0,001 dan 0,003. Berapa seharusnya harga yang fair untuk lotere tersebut? 

Misalkan Variabel X menyatakan nilai kemenangan orang tersebut, 

maka nilai X1= 50.000.000 dengan Probabilitas P(X=x1) =0,001 

dan X2 = 20.000.000 dengan Probabilitas P(X=x2)= 0,003

Sehingga nilai Harapan Matematis X adalah

E(X) = X1 P(X=x1) + X2 P(X=x2) 

= (50.000.000) (0,001) + (20.000.000) (0,003) 

= 110.000

Jadi harga yang fair dari lotere tersebut adalah Rp. 110.000,

3. Fungsi kepadatan dari suatu variabel acak X ditentukan oleh

Maka nilai Ekspektasi dari X adalah? (30 poin)

E(x) = 02 (½)x dx 

    = 02 (1/4)x^2  

    = ¼ (2^2) - ¼ (0^2) = 1

4. Permintaan minuman dalam liter per minggu dinyatakan dalam fungsi variabel random g(X) = X^2 + X - 2, di mana X mempunyai fungsi padat: (30 poin)

Tentukan nilai rataan dari permintaan minuman tersebut.

E(x) = 12 (x^2 + x -1)(2x - 2)  dx 

    = 122x^3 - 4x + 2 dx 

    = ½ (2)^4 - 2(2)^2 + 2(2) -  ½ (1)^4 - 2(1)^2 + 2(1)

    = 4 - ½ = 7/2 = 3,5

Tugas C

1. Tiga uang logam dilempar secara bersamaan. Pemain mendapat Rp.5rb bila muncul semua sisi angka (A) atau semua sisi gambar (G), dan membayar Rp.3rb bila muncul sisi angka satu atau dua. Berapa harapan kemenangannya?

Adapun ruang sampel dari pelemparan 3 uang koin adalah sebagai berikut :

= {(AAA), (AAG),  (AGA), (AGG), (GGG), (GGA), (GAG), (GAA)}

peluang menang adalah Angka semua dan Gambar semua sebanyak 2/8.

sedangkan peluang kalah adalah muncul 1 atau 2 Angka sebanyak 6/8.

maka apabila nilai X adalah uang yg dapat dimenangkan,

x	-3	5
f(x)	6/8	2/8

nilai harapan si pemain adalah,

= E(x) =  (-3) * (6/8) + (5) * (2/8) 

    = -8/8 

    = -1

maka harapan kemenangannya adalah membayar Rp. 1rb.

jadi berapa kali pun pemain melakukan taruhan, kemungkinannya adalah akan selalu kalah dan membayar Rp. 1rb.